Question

14．已知数列{a_n}的各项均正数，记A（n）是其前n项的积，B（n）是从第二项开始往后n项的积，C（n）是从第三项开始往后n项的积，n=1，2，…．若a₁=1，a₂=2，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等比数列，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 由题意易得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{2}}$，进而可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得通项公式．

解答 解：由题意，对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等比数列，
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{2}}$，
因为a₁=1，a₂=2，
所以$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a_n=2^n-1．
故答案为：a_n=2^n-1．

点评 本题考查等比数列的通项公式，属基础题．