Question

7．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：

年级名次 是否近视	1～50	951～1000
近视	41	32
不近视	9	18

（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（2）根据表中数据，在调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取2人，求成绩名次在1～50名恰有1名的学生的概率．
附：P（K₂≥3.841=0.05）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中的数据，计算观测值k²，得出统计结论；
（2）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率．

解答 解：（1）根据表中的数据，得；
k²=$\frac{100{×（41×18-32×9）}^{2}}{50×50×73×27}$=$\frac{300}{73}$≈4.110＞3.841；
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下，
认为视力与学习成绩有关系；
（2）依题意9人中年级名次在1～50名有3人，记为a、b、c；
951～1000名有6人，记为1、2、3、4、5、6；
从9人中取2人包含的基本事件有
ab，ac，a1，a2，a3，a4，a5，a6，
bc，b1，b2，b3，b4，b5，b6，c1，c2，c3，c4，c5，c6，
12，13，14，15，16，23，24，25，26，
34，35，36，45，46，56共36种，
记事件A：成绩名次在1～50名恰有1名的学生，
事件A包含的所有基本事件有a1，a2，a3，a4，a5，a6，
b1，b2，b3，b4，b5，b6，c1，c2，c3，c4，c5，c6共18种，
则P（A）=$\frac{18}{36}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．