题目内容

2．观察下列等式：
13+23=32=（1+2）2
13+23+33=62=（1+2+3）2
13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2
…
据此规律，第n个等式可为13+23+33+…+（n+1）3=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）^{2}}{4}$=[1+2+3+…+（n+1）2．

分析 左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方，由此得到结论．

解答 解：∵13=1
13+23=9=（1+2）2，
13+23+33=36=（1+2+3）2，
13+23+33+43=100=（1+2+3+4）2，
…
由以上可以看出左边是连续自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方，
照此规律，第n个等式可为：13+23+33+…+（n+1）3=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）^{2}}{4}$=[1+2+3+…+（n+1）2．
故答案为：13+23+33+…+（n+1）3=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）^{2}}{4}$=[1+2+3+…+（n+1）2

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

练习册系列答案
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12．已知数列{an}的首项${a_1}=\frac{3}{5}，{a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，{an}的前n项和为Sn．
（1）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的$x＞0，{a_n}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}（\frac{2}{3^n}-x），n∈{N^*}$．
（3）证明：${S_n}＞\frac{n^2}{n+1}$．
13．△ABC中，已知AB=2，BC=5，S△ABC=4，∠ABC=θ，则cosθ=$±\frac{3}{5}$．
10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m∥n，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
17．已知A是⊙O上一定点，在⊙O上其他位置任取一点B，连接A、B两点，所得弦的长度大于等于⊙O的半径的概率为（　　）
A．$\frac{2}{3}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{5}{6}$D．$\frac{1}{2}$
7．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：
年级名次
是否近视		1～50951～1000
近视4132
不近视918
（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（2）根据表中数据，在调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取2人，求成绩名次在1～50名恰有1名的学生的概率．
附：P（K2≥3.841=0.05）K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
14．在△ABC中，已知c=1，△ABC的外接圆半径为1，则∠C=（　　）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
11．观察如图数表：

根据数表中所反映的规律，第n行与第n-1列的交叉点上的数应该是（　　）
A．2n-1B．2n+1C．n2-1D．2n-2
1．下列各式：①{a}⊆{a}②??{0}③0⊆{0}④{1，3}?{3，4}，其中正确的有（　　）
A．②B．①②C．①②③D．①③④

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