Question

（本小题满分14分）

对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.

（1）求证：；

（2）若，且，求实数的取值范围；

（3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.

Answer 1

解析：（1）若，则显然成立；若，设，则，

，故.                             …………4分

（2）有实根，.又，所以，

即的左边有因式，

从而有.    …………6分

，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是.           …………10分

（3）由题意：是函数的稳定点则，设，是上的单调增函数，则，所以，矛盾.若，是上的单调增函数，则，所以，矛盾，故，所以是函数的不动点.         …………14分