Question

本小题满分12分）
如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁—EF—B的正切值；
（2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）连AC、B₁H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB为二面角B₁—EF—B的平面角。               …………2分
在

故二面角B₁—EF—B的正切值为      …………4分
（2）在棱B₁B上取中点M，连D₁M、C₁M。
∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M。                                        …………6分
在正方形BB₁C₁C中，因为M、F分别为BB₁、BC的中点，
∴B₁F⊥C₁M 又因为D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁                                     …………8分
（3）设D₁M与平面EFB₁交于点N，则D₁N为点D₁到平面EFB₁的距离。
在Rt△MB₁D₁中，                      …………10分

故点D₁到平面EFB₁的距离为                          …………12分
解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则
   ………………2分
设平面EFB₁的一个法向量为

故二面角B₁—EF—B的正切值为               …………6分
（2）设

                       …………12分

略