Question

【题目】已知函数

(1)讨论函数的定义域；

(2)当时，解关于x的不等式：

(3)当时，不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23

【解析】

（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域

（2）根据函数的单调性解答即可；

（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．

解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．

当a＞1时，x＞0；

当0＜a＜1时，x＜0．

所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．

（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则，所以11．

因为a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．

故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．

∵f（x）＜f（1）；

∴ax﹣1＜a﹣1，

∵a＞1，

∴x＜1，

又∵x＞0，

∴0＜x＜1；

（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，

∴g（x）min＝﹣log23，

∵m＜g（x），

∴m＜﹣log23．