Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m在[﹣ ，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1 ， x2∈[ ，2]，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

因为当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；

所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）

（2）解：要使函数g（x）=f（x）﹣m在[- ，3]上有三个零点，就是要方程f（x）﹣m=0在[- ，3]上有三个实根，也就是只要函数y=f（x）和函数y=m的图像在[﹣ ，3]上有三个不同的交点．

由（1）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减；

所以f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2．

又f（- ）= ，f（3）=18．

故实数m的取值范围为

（3）解：对任意的 ，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，等价于当 时，f（x）max≤h（x）min成立．

由（1）知，f（x）在[ ，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且 ，f（2）=2，所以f（x）在[ ，2]上的最大值f（x）max=2．

又h′（x）=ex﹣e，令h′（x）=0，得x=1．

因为当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0；所以h（x）在[ ，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；故h（x）在[ ，2]上的最小值h（x）min=h（1）=4n2﹣2n．

所以4n2﹣2n≥2，解得 或n≥1，故实数n的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）

【解析】（1）直接求导数，然后解不等式可得原函数的增减区间；（2）利用数形结合，将问题转化为函数y=f（x）与y=m的交点问题，只需利用导数研究函数y=f（x）的极值、最值即可；（3）因为h（x）与f（x）是两个不同的函数，所以该不等式恒成立只需f（x）max≤h（x）min即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．