Question

给出下列四个命题：
①“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
②函数y=sin（2x-

π

6

）的图象沿x轴向右平移

π

6

个单位所得的函数表达式是y=cos2x；
③函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围是（0，1）；
④设O是△ABC内部一点，且

OA

+

OC

=-2

OB

，则△AOB与△AOC的面积之比为1：2；
其中真命题的序号是

④

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：①当k=-1时，函数y=cos²kx-sin²kx=cos2x的最小正周期也为π；②函数y=sin（2x-

π

6

）的图象沿x轴向右平移

π

6

个单位所得的函数表达式是y=sin[2（x-

π

6

）-

π

6

]化简 即可
③由函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R可得ax²-2ax+1＞0恒成立，分类讨论①若a=0，②

a＞0 △=4a2-4a＜0

可判断；④设AC边上的中线为BD，由O是△ABC内部一点，且

OA

+

OC

=-2

OB

，可得O为BD的中点，

S△AOB

S△AOC

=

S△AOD

S△AOC

可求

解答：解：①当k=-1时，函数y=cos²kx-sin²kx=cos2x的最小正周期也为π，故①错误
②函数y=sin（2x-

π

6

）的图象沿x轴向右平移

π

6

个单位所得的函数表达式是y=sin[2（x-

π

6

）-

π

6

]=2sin(2x-

π

2

)=-cos2x，故②错误
③由函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R可得ax²-2ax+1＞0恒成立，①若a=0，满足条件②

a＞0 △=4a2-4a＜0

解可得0＜a＜1，从而有0≤a＜1，故③错误
④设AC边上的中线为BD，由O是△ABC内部一点，且

OA

+

OC

=-2

OB

，可得O为BD的中点，

S△AOB

S△AOC

=

S△AOD

S△AOC

=

1

2

，正确
故答案为：④

点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数图象的平移及对数函数的定义域，函数的恒成立问题的求解，是一道综合题．