题目内容
【题目】已知函数.(
是自然对数的底数)
(1)求的单调递减区间;
(2)记,若
,试讨论
在
上的零点个数.(参考数据:
)
【答案】(1).(2)见解析
【解析】
(1)求出导函数,解不等式
,结合三角函数的性质可得解;
(2)求出,令
,由导数的知识求得
的单调性,然后通过讨论
的正负确定
的单调性的极值,确定其零点个数.
解:(1),定义域为
.
.
由解得
,解得
.
∴的单调递减区间为
.
(2)由已知,∴
.
令,则
.
∵,∴当
时,
;
当时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
即在
上单调递增,在
上单调递减.
∵,
.
①当,即
时,
,∴
.
∴,使得
,
∴当时,
;当
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
∵,∴
.
又∵,
∴由零点存在性定理可得,此时在
上仅有一个零点.
②若时,
,
又∵在
上单调递增,在
上单调递减,又
,
∴,
,使得
,
,
且当、
时,
;当
时,
.
∴在
和
上单调递减,在
上单调递增.
∵,∴
.
∵,∴
.
又∵,由零点存在性定理可得,
在
和
内各有一个零点,
即此时在
上有两个零点.
综上所述,当时,
在
上仅有一个零点;
当时,
在
上有两个零点.
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