题目内容

已知函数.
(1)设函数,求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

(Ⅱ) () .

解析试题分析:(I)因为,函数.
所以=-lnx,其定义域为(0,+)。
当a=0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a>0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a<0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减。
(Ⅱ)把方程整理为
即为方程.       5分
 ,原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.           6分
         7分
,因为,解得(舍)             8分
时, 是减函数;当时, 是增函数 10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 
 ∴
解得, 所以的取值范围是() .
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题,函数零点,不等式的解法。
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。(I)中要对a的不同取值情况加以讨论,在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的最值,通过构建a的不等式组,求得a的范围。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。

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