题目内容
【题目】已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求函数a的取值范围；
（2）记函数
的两个极值点为
，
，且
，证明对任意实数
，都有不等式
成立.
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【解析】
（1）将函数有两个极值点的问题，转化为导函数有两个零点的问题，再转化为函数图像有交点的问题，利用导数的几何意义求得临界状态时直线的斜率即可求得参数范围；
（2）根据
的单调性，将问题转化为求证
，再构造函数
，根据其单调性，即可证明.
（1）依题
有两个不同的极值点，即
有两个不等实根.
亦即函数
与
图象在
上有两个不同交点
若令过原点且与图象相切的直线斜率为k，则只需
设切点为
，则
，而
故
，于是
，所以
（2）证明：令则
由
时，
，
单调递增
时，
，单调递减
知
是的极大值点
故
且
等价于
∵
，
∴
故只需证即可
令，
则
故
∵∴
，
，∴
∴
在
单调递增∴
∴
∵
∴
又∵∴
又∵
，
且在
单调递增
∴
∴即原不等式成立
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第
条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第
条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣
分，罚款
元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的
个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 |
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不“礼让斑马线”驾驶员人数 |
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（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数
与月份
之间的回归直线方程
，并预测该路口
月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；
（2）若从表中
月份和
月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为
的样本，再从这人中任选
人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：
，
.
参考数据：
.
