题目内容
【题目】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为
，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．
(1)求
，
，
，并根据棋子跳到第n站的情况，试用
和
表示；
(2)求证：
为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
【答案】（1）
，
，
，
；（2）证明见解析；（3）
.
【解析】
(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出
，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出
.棋子跳到第
站，包括两种情形，①棋子先跳到第
站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第
站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.
(2) 由(1)知，，所以
可证.
(3) 该游戏获胜的概率,即求
，由（2）用累加法可求解.
(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以．
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为
，所以．
棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为
，所以
．
棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为
；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为
．
故．
(2)由(1)知，，所以．
又因为
，
所以
是首项为
，公比为的等比数列．
(3)由(2)知，
．
所以
．
所以玩该游戏获胜的概率为．
【题目】某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于
，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
气温范围 |
|
|
|
|
|
天数 | 4 | 14 | 36 | 21 | 15 |
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量
（单位：公斤）的分布列和数学期望；
（2）设9月份一天销售特产水果的利润为
（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为
（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？
【题目】在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 | [30，40) | [40，50) | [50，60) | [60，70) | [70，80) | [80，90) | [90，100] |
频数 | 2 | 13 | 21 | 25 | 24 | 11 | 4 |
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z
N(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求μ的值；
②利用该正态分布，求
；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于
的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单元：元） | 20 | 50 |
概率 |
|
|
现有市民甲参加此次问卷调查，记
（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：
．若
，则
，
，
．
