Question

【题目】已知函数 的定义域为集合A，y=﹣x2+2x+2a的值域为B．
（1）若a=2，求A∩B
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意：整理得A={x︳x＞3}，函数y=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1+2a≤1+2a，即B={x︳x≤2a+1}，

当a=2时，B={x|x≤5}，

∴A∩B={x︳3＜x≤5}

（2）解：∵A∪B=R，∴根据题意得：2a+1≥3，

解得：a≥1，

则实数a的取值范围是[1，+∞）

【解析】求出函数y= 的定义域确定出A，求出y=﹣x2+2x+2a的值域确定出B，（1）把a=2代入确定出B，求出A与B的交集即可；（2）由A与B的并集为R，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的并集运算和集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握并集的性质：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB，反之也成立；交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．