题目内容
【题目】矩形中,
,
,点
为
中点,沿
将
折起至
,如下图所示,点
在面
的射影
落在
上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据射影可得面面垂直,再有面面垂直的性质得线面垂直,从而;(Ⅱ)以
为坐标原点,以过点
且平行于
的直线为
轴,过点
且平行于
的直线为
轴,直线
为
轴,建立如图所示直角坐标系.利用空间向量计算二面角.
试题解析:(Ⅰ)由条件,点在平面
的射影
落在
上
平面
平面
,易知
平面
,而
平面
(Ⅱ)以为坐标原点,以过点
且平行于
的直线为
轴,过点
且平行于
的直线为
轴,直线
为
轴,建立如图所示直角坐标系.
则,
,
,
设平面的法向量为
则,即
,令
,可得
设平面的法向量为
则,即
,令
,可得
考虑到二面角为钝二面角,则二面角
的余弦值为
.
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