题目内容
【题目】已知函数
.其中
是自然对数的底数.
（1）求函数
在点
处的切线方程；
（2）若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；
（2）
.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得
在点
处的切线方程；
（2）令
，
然后利用导数并根据a的情况研究函数
的单调性和最值.
（1）
，
，
∴
，
又
，
∴切线方程为
，即.
（2）令，
，
①若
，则
在
上单调递减，又
，
∴
恒成立，∴
在上单调递减，又
，
∴
恒成立.
②若
，令
，
∴
，易知
与
在上单调递减，
∴
在上单调递减，
，
当
即
时，
在上恒成立，
∴
在上单调递减，即在上单调递减，
又，∴恒成立，∴在上单调递减，
又，∴恒成立，
当
即
时，
使
，
∴在
递增，此时
，∴
，
∴在递增，∴
，不合题意.
综上，实数
的取值范围是.
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