题目内容

已知函数是不为零的实数,为自然对数的底数).
(1)若曲线有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求k的值;
(2)若函数在区间内单调递减,求此时k的取值范围.

(1)
(2)当时,函数在区间内单调递减.

解析试题分析:(1)设曲线有共同切线的公共点为
.     1分
又曲线在点处有共同切线,
,  2分
,                      3分
解得 .                           4分
(2)由得函数
所以                     5分

.               6分
又由区间知,,解得,或.                     7分
①当时,由,得,即函数的单调减区间为,                      8分
要使得函数在区间内单调递减,
则有                           9分
解得.                  10分
②当时,由,得,或,即函数的单调减区间为,             11分
要使得函数在区间内单调递减,
则有,或,                   12分
这两个不等式组均无解.                        13分
综上,当时,函数在区间内单调递减.  14分
考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、极(最值)值。
点评:难题,本题属于导数内容中的基本问题,(1)运用“函数在某点的切线斜率,就是该点的导数值”,确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况,明确函数的单调区间。确定函数的最值,往往遵循“求导数,求驻点,计算极值、端点函数值,比较大小确定最值”。本题较难,主要是涉及参数K的分类讨论,不易把握。

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