Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆
C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：解：(Ⅰ) 设F2(c，0)，则＝，所以c＝1．因为离心率e＝，所以a＝．
所以椭圆C的方程为．   4分
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－， 6分
此时P(，0)、Q(,0) ，．不合；
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M(－，m) (m≠0)，直线AB的斜率为k， ，
．由  得，则 －1＋4mk＝0，
故k＝．此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．
即 ．
联立消去y，整理得  ．
所以，． 8分
由题意0，于是
(x1－1)(x2－1)＋y1y2
                      =0．
因为M在椭圆内，符合条件； 12分
综上，存在两点M符合条件，坐标为． 13分
点评：解决的关键是对于直线与圆锥曲线的位置关系的运用，要借助于代数方法联立方程组来的得到，属于基础题。