题目内容
7.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=3,CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$,F为PC的中点,AF⊥PB.(!)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
分析 (1)过B作BO⊥AC于O,连接OD,以O为坐标原点,OB、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系O-xyz,通过$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PB}$=0,计算即可;
(2)利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,1,-$\frac{2}{5}\sqrt{10}$)和$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,-$\frac{9}{5}$,$\frac{18}{25}\sqrt{10}$)分别为平面FAD、平面FAB的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值.
解答 解:(1)过B作BO⊥AC于O,连接OD,
以O为坐标原点,OB、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
则OC=BCcos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$,OB=BCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
而AC=4,可得AO=AC-OC=$\frac{5}{2}$.
又∵CDsin$\frac{π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,CDcos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1,
∴A(0,-$\frac{5}{2}$,0),B($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,0,0),C(0,$\frac{3}{2}$,0),D(-$\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$,0),
由于PA⊥底面ABCD,可设P(0,-$\frac{5}{2}$,z)
∵F为PC边的中点,∴F(0,-$\frac{1}{2}$,$\frac{z}{2}$),由此可得$\overrightarrow{AF}$=(0,2,$\frac{z}{2}$),
∵$\overrightarrow{PB}$=($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{5}{2}$,-z),且AF⊥PB,
∴(0,2,$\frac{z}{2}$)•($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{5}{2}$,-z)=5-$\frac{{z}^{2}}{2}$=0,解之得z=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$(舍),
因此PA的长为$\sqrt{10}$;
(2)由(1)知$\overrightarrow{AF}$=(0,2,$\frac{\sqrt{10}}{2}$),$\overrightarrow{AB}$=($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{5}{2}$,0),$\overrightarrow{AD}$=(-$\sqrt{3}$,3,0),
设平面FAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2y+\frac{\sqrt{10}}{2}z=0}\\{-\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$,
取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$,1,-$\frac{2}{5}\sqrt{10}$),
设平面FAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2y+\frac{\sqrt{10}}{2}z=0}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}y=0}\end{array}\right.$,
取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,-$\frac{9}{5}$,$\frac{18}{25}\sqrt{10}$),
∵$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-\frac{9}{5}-\frac{72}{25}}{\sqrt{\frac{28}{5}}•\frac{2}{25}\sqrt{1785}}$=-$\frac{\sqrt{51}}{34}$,
∴二面角B-AF-D的正弦值为$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{51}}{34})^{2}}$=$\frac{\sqrt{1105}}{34}$.
点评 本题考查在三棱锥中求线段PA的长度,并求平面与平面所成角的正弦值,着重考查了空间线面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.
A. | -4 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
A. | (0,+∞) | B. | (-∞,0)∪(3,+∞) | C. | (-∞,0)∪(0,+∞) | D. | (-∞,0) |
A. | 16 | B. | 32 | C. | 64 | D. | 128 |
A. | [-1,1]∪[2,+∞) | B. | (-∞,-1]∪[1,2] | C. | (-∞,-1]∪[2,+∞) | D. | [-1,2] |