题目内容
19．已知函数f（x）=（x-2）ex和g（x）=kx3-x-2．（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；
（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．
分析 （1）求出g'（x）=3kx2-1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，判断函数的单调性，以及函数的最值，即可求出k的最大值．
解答 解：（1）g'（x）=3kx2-1…（1分）
①当k≤0时，g'（x）=3kx2-1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）
②当k＞0时，g（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{3k}}$）上单调递减，在（$\sqrt{\frac{1}{3k}}$，+∞）上单调递增，
因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜$\sqrt{\frac{1}{3k}}$＜2，解得$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$…（4分）
综上k的取值范围是$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，
令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，则h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-4x+6）{e}^{x}}{{x}^{4}}$＞0，
∴h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=-e
∴k≤-e，
∴k的最大值为-e．．…（12分）
点评 本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=3，CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，F为PC的中点，AF⊥PB．
如图摩天轮半径10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（速率均匀），人从最低点A上去且开始计时，则t分分钟后离地面10sin（$\frac{2}{3}π$t$-\frac{π}{2}$）+10.5或10.5-10cos（$\frac{2}{3}$πt）米．
如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D是AB的中点，F是BC上一点，AF交CD于点E，且CE=DE，∠BCD=30°，现将△ACD沿CD折起，折成钝二面角A-CD-B．
9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：
甲厂：
乙厂：
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．
附：x2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．
甲厂：
| 分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
| 频数 | 15 | 30 | 125 | 198 | 77 | 35 | 20 |
| 分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
| 频数 | 40 | 70 | 79 | 162 | 59 | 55 | 35 |
| 甲 厂 | 乙 厂 | 合计 | |
| 优质品 | |||
| 非优质品 | |||
| 合计 |
| P（x2≥x） | 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 |
| x | 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 |