题目内容
6.x,y,z∈R,则($\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}$)min=-1.分析 对分子进行因式分解,x2-2xy-4xz+8yz=(x-2y)(x-4z)=-(2y-x)(x-4z),根据(a+b)2≥4ab便可得出-(2y-x)(x-4z)≥-(y-2z)2,而分母y2-4yz+4z2=(y-2z)2>0,这样便可得出$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$,从而得出最小值为-1.
解答 解:x2-2xy-4xz+8yz=x(x-2y)-4z(x-2y)=(x-2y)(x-4z)=-(2y-x)(x-4z);
∵$(2y-x)(x-4z)≤\frac{(2y-x+x-4z)^{2}}{4}$=(y-2z)2;
∴-(2y-x)(x-4z)≥-(y-2z)2;
∴x2-2xy-4xz+8yz≥-(y-2z)2=-(y2-4yz+4z2);
∴$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$;
∴$(\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}})_{min}=-1$.
故答案为:-1.
点评 考查对一个多项式进行因式分解的能力,对于本题的求最小值,可以想着让分子出现和分母相同的项,从而进行约分得到常数,由不等式a2+b2≥2ab能得到(a+b)2≥4ab.
练习册系列答案
相关题目
17.若输出的i=5,则k的最小正整数值为( )
A. | 88 | B. | 89 | C. | 8095 | D. | 8096 |
11.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>4)=0.1587,则P(2≤X≤4)等于( )
A. | 0.3413 | B. | 0.1585 | C. | 0.8413 | D. | 0.6826 |