题目内容
【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形
为边长等于
的正方形,
和
均为正三角形,在三棱锥
中:
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若点为棱
上一点且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)设的中点为
,连接
,
,证明
,
,
平面
,然后证明平面
平面
.
(Ⅱ)以,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图示空间直角坐标系,求出平面
的法向量,平面
的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角
的余弦值即可.
解:(Ⅰ)设的中点为
,连接
,
.
由题意,得,
,
.
在
中,
,
为
的中点,
,
在
中,
,
,
,
,
.
,
,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
平面
.
(Ⅱ)由平面
,
,
,
,
于是以,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则由得:
.令
,得
,
,即
.
设平面的法向量为
,
由得:
,令
,得
,z=1,即
.
.由图可知,二面角
的余弦值为
.
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练习册系列答案
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甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得
______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.