Question

6．若函数y=$\frac{m{x}^{2}+3x+n}{x+1}$值域为y≤-4或y≥2，求m，n的值．

Answer 1

分析 可将原函数变成mx²+（3-y）x+n-y=0，可将该式看成关于x的方程，并且方程有解，容易判断m≠0，从而方程为一元二次方程，从而有△=y²+（4m-6）y+9-4mn≥0，从而得到该不等式的解集为y≤-4，或y≥2，这样便知-4，2是方程y²+（4m-6）y+9-4mn=0的两实数根，这样根据韦达定理即可求出m，n．

解答 解：由原函数得：yx+y=mx²+3x+n；
∴mx²+（3-y）x+n-y=0    （1），看成关于x的方程，方程有解；
若m=0，方程变成（3-y）x+n-y=0；
∴y≠3，或y=3=n，不符合y≤-4，或y≥2；
∴m≠0；
∴方程（1）为一元二次方程，方程有解，则：
△=（3-y）²-4m（n-y）=y²+（4m-6）y+9-4mn≥0；
∵原函数的值域为y≤-4，或y≥2；
∴该不等式的解为y≤-4，或y≥2；
∴-4，2是方程y²+（4m-6）y+9-4mn=0的两实根；
根据韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{6-4m=-4+2}\\{9-4mn=-4•2}\end{array}\right.$；
∴$m=2，n=\frac{17}{8}$．

点评 考查函数值域的概念，通过将原函数解析式整理成关于x的方程的形式，由方程有解求函数值域的方法，一元二次方程有解时，判别式△的取值情况，以及韦达定理．