题目内容
(2013•宁波二模)设函数f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.
(Ⅰ)如果x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)求实数a的值,使得函数f(x)同时具备如下的两个性质:
①对于任意实数x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,
<f(
)恒成立;
②对于任意实数x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,
>f(
)恒成立.
(Ⅰ)如果x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)求实数a的值,使得函数f(x)同时具备如下的两个性质:
①对于任意实数x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
②对于任意实数x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
分析:(Ⅰ)先求函数的定义域、导数f′(x),由题意f'(1)=0,解出可得a值,在定义域内解不等式f'(x)>0,f'(x)<0,可得f(x)的单调性,根据单调性可得其最大值;
(Ⅱ)令F(x1,x2)=
-f(
)=
(x1-x2)2-
ln(
),由(Ⅰ)中的结论可得对任意x∈(0,1)∪(1,+∞),lnx<x-1(*)恒成立.(ⅰ)如果x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,则
=1+
>1.根据(*)可得ln(
)<
,F(x1,x2)>
(x1-x2)2-
•
.由性质①转化为恒成立问题,可得a的范围;(ⅱ)如果x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,则0<
=1-
<1.再根据(*)进行放缩,由性质②可得恒成立问题,由此可得a的范围,综合(i)(ii)可得a的范围;
(Ⅱ)令F(x1,x2)=
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=
+2ax-(3a+1),
依题意,f'(1)=1+2a-(3a+1)=0,解得a=0.
此时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=
-1=
.
因为x∈(0,+∞),令f'(x)>0,可得x∈(0,1);令f'(x)<0,可得x∈(1,+∞).
所以,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
因此,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=0.
(Ⅱ)令F(x1,x2)=
-f(
)
=
(lnx1+lnx2)-ln(
)+
(
+
)-a(
)2=
(x1-x2)2-
ln(
),
由(Ⅰ)中的结论可知,lnx-x+1<0对任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,即lnx<x-1(*)恒成立.
(ⅰ)如果x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,则
=1+
>1.
根据(*)可得ln(
)<
,F(x1,x2)>
(x1-x2)2-
•
.
若f(x)满足性质①,则
(x1-x2)2-
•
<F(x1,x2)<0恒成立,
于是
<
对任意x1,x2∈(0,1)且x1≠x2恒成立,所以a≤
.
(ⅱ)如果x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,则0<
=1-
<1.
根据(*)可得ln(
)<-
?ln(
)>
,
则F(x1,x2)<
(x1-x2)2-
•
.若f(x)满足性质②,则
(x1-x2)2-
•
>F(x1,x2)>0恒成立.
于是
>
对任意x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2恒成立,所以a≥
.
综合(ⅰ)(ⅱ)可得,a=
.
1 |
x |
依题意,f'(1)=1+2a-(3a+1)=0,解得a=0.
此时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
因为x∈(0,+∞),令f'(x)>0,可得x∈(0,1);令f'(x)<0,可得x∈(1,+∞).
所以,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
因此,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=0.
(Ⅱ)令F(x1,x2)=
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
=
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
a |
2 |
x | 2 1 |
x | 2 2 |
x1+x2 |
2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
由(Ⅰ)中的结论可知,lnx-x+1<0对任意x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立,即lnx<x-1(*)恒成立.
(ⅰ)如果x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,则
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
根据(*)可得ln(
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
若f(x)满足性质①,则
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
4x1x2 |
于是
a |
4 |
1 |
8x1x2 |
1 |
2 |
(ⅱ)如果x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,则0<
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
根据(*)可得ln(
4x1x2 |
(x1+x2)2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
(x1+x2)2 |
4x1x2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
则F(x1,x2)<
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
a |
4 |
1 |
2 |
(x1-x2)2 |
(x1+x2)2 |
于是
a |
4 |
1 |
2(x1+x2)2 |
1 |
2 |
综合(ⅰ)(ⅱ)可得,a=
1 |
2 |
点评:本题考查利用导数研究函数的极值、最值问题,考查恒成立问题,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,解决(Ⅱ)问的关键是借助(Ⅰ)中的结论得到恰当不等式.

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