Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）设AA₁=2，求点F到平面A₁ED₁的距离．

Answer 1

分析：（1）由正方体的性质可得AD⊥面DD₁C₁C，可得结论；
（2）取AB的中点，并连接A₁P，由三角形全等可得A₁P⊥AE，可得所求的角；
（3）取CC₁中点Q，连接FQ，作FH⊥平面A₁FQD，可得FH即为F到平面FQD₁A₁的距离，由已知数据解FH可得．

解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AD⊥面DD₁C₁C，
又D₁F?面DD₁C₁C，∴AD⊥D₁F
（2）取AB的中点P，并连接A₁P，
可得△A₁AP≌△ABE，
∴∠BAE=∠AA₁P，∠AEB=∠A₁AE，
∵∠BAE+∠A₁AE=∠A₁AB=90°，
∴∠AA₁P+∠A₁AE=90°，即A₁P⊥AE，
即AE⊥D₁F，∴AE与D₁F所成的角为90°
（3）取CC₁中点Q，连接FQ，
∵FQ∥A₁D₁又作FH⊥平面A₁FQD，
又∵FH⊥D₁Q，FH⊥FQ，∴FH⊥平面FQD₁A₁，
∴FH即为F到平面FQD₁A₁的距离，解得：FH=

3 5

5

，
∴F点到平面A₁ED₁的距离为

3 5

5

点评：本题考查空间的线面位置关系，涉及异面直线所成的角，属中档题．