Question

【题目】（题文）平面内动点到两定点，距离之比为常数，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点、，圆心为，

（1）求满足上述定义的圆的方程，并指出圆心的坐标和半径；

（2）若，且经过点的直线交圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

分析：（1）根据定义建立等量关系，化简即可得到圆的方程，进而指出圆心的坐标和半径；

（2）设，则的面积，根据正弦函数的最值得到结果.

详解：（1）设动点，则，

整理得，圆心，半径．

（2）解法一：在（1）的结果中，令，则得圆的方程为，即.

设，则的面积．

当时，的面积取得最大值8．

此时，直线的斜率存在，设其方程为，圆心到直线的距离，整理得，解得．

所以直线的方程为．

（2）解法二：在（1）的结果中，令，则得圆的方程为，即．

（ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可得弦长，所以．

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设的方程为，圆心到直线的距离，从而弦长．

所以，当且仅当，即时，的面积取得最大值8．

因为，所以面积的最大值为8，此时，由，解得．所以直线的方程为．