Question

1．命题p：直线y=kx+2与圆x²+y²=1相交于A，B两点；命题q：曲线$\frac{{x}^{2}}{16-k}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真时k的范围，再由p∧q为真命题，得到p，q均为真命题，得到不等式组，从而求出k的范围．

解答 解：∵命题p：直线y=kx+2与圆x²+y²=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|k•0-0+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴k$＞\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$，
∵命题q：曲线$\frac{{x}^{2}}{16-k}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-k＞0}\\{k＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜k＜16，
∵p∧q为真命题，
∴p，q均为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜16}\\{k＞\sqrt{3}或k＜-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\sqrt{3}$＜k＜16．

点评 本题以复合命题的真假为载体，考查双曲线的标准方程及性质，以及直线和圆的位置关系，准确记住这些概念性质是解题的关键，本题是一道基础题．