Question

【题目】已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO（O为原点）的面积为2 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：令抛物线的方程为y2=2px（p＞0）．将点A（1，﹣2）的坐标代入方程，得p=2，

故所求抛物线的标准方程为y2=4x

（2）解：若直线l⊥x轴，则M（1，2），N（1，﹣2），此时△MNO的面积为2，不合题设；

若直线l与x轴不垂直，令M（x1，y1），N（x2，y2），l：y=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线方程y2=4x，并整理得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，

则x1+x2=2+ ，x1x2=1．

于是|MN|=x1+x2+p=

又原点到直线l的距离为d= ，

则2 = |MN|d= ，

解得，k=﹣1或1．

综上，所求直线l的方程为y=﹣x+1或y=x﹣1

【解析】（1）令抛物线的方程为y2=2px（p＞0）．将点A（1，﹣2）的坐标代入方程，得p的值，可得抛物线C的方程；（2）分类讨论，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求直线l的方程．