题目内容

如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：

（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.


            

解答: 解：（1）如图，设M（x,y），，又E（0，b）

显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则

而的中点在直线l上，

故，①

由于代入①即得，又 点M的轨迹方程（）-------------6分

（2）易知曲线S的方程为设梯形的面积为，点P的坐标为. 由题意得，点的坐标为，直线的方程为.

               直线的方程为即：  令  得，令  得，

当且仅当，即时，取“=”且， 时，有最小值为.梯形的面积的最小值为----------15分

练习册系列答案
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AB
，
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EF
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，
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如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．

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