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精英家教网如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
分析:(I)由已知中DE⊥平面ABCD,ABCD是边长为3的正方形,我们可得DE⊥AC,AC⊥BD,结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)以D为坐标原点,DA,DC,DE方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面BEF和平面BDE的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)由已知中M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).根据AM∥平面BEF,则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直,数量积为0,构造关于t的方程,解方程,即可确定M点的位置.
解答:精英家教网证明:(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.
因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
从而AC⊥平面BDE.…(4分)
解:(Ⅱ)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
因为BE与平面ABCD所成角为600,即∠DBE=60°,
所以
ED
DB
=
3

由AD=3,可知DE=3
6
AF=
6

则A(3,0,0),F(3,0,
6
)
E(0,0,3
6
)
,B(3,3,0),C(0,3,0),
所以
BF
=(0,-3,
6
)
EF
=(3,0,-2
6
)

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则
n•
BF
=0
n•
EF
=0
,即
-3y+
6
z=0
3x-2
6
z=0
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z=
6
,则n=(4,2, 
6
)

因为AC⊥平面BDE,所以
CA
为平面BDE的法向量,
CA
=(3,-3,0)

所以cos?n,
CA
>=
n•
CA
|n||
CA
|
=
6
3
2
×
26
=
13
13

因为二面角为锐角,所以二面角F-BE-D的余弦值为
13
13
.…(8分)
(Ⅲ)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).
AM
=(t-3,t,0)

因为AM∥平面BEF,
所以
AM
•n
=0,即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
此时,点M坐标为(2,2,0),
即当BM=
1
3
BD
时,AM∥平面BEF.…(12分)
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,空间中直线与平面垂直的判定,向量法确定直线与平面的位置关系,其中(I)的关键是证得DE⊥AC,AC⊥BD,熟练掌握线面垂直的判定定理,(II)的关键是建立空间坐标系,求出两个半平面的法向量,将二面角问题转化为向量夹角问题,(III)的关键是根据AM∥平面BEF,则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直,数量积为0,构造关于t的方程.
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