Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是线段AD的中点，三棱锥F-OBC的体积为

2

3

，
（1）求证：OF⊥面FBC；
（2）求二面角B-OF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设BC的中点为M，连接OM，FM，设OM的中点为N，连接FM，则可证EO⊥面ABCD，进而可得FN⊥面ABCD，利用三棱锥F-OBC的体积为

2

3

，可得FN=1，进而可知OF⊥FM，由BC⊥面OFN，可得BC⊥OF，从而可证OF⊥面FBC；
（2）判断∠BFC为二面角B-OF-C的平面角．利用余弦定理可求二面角B-OF-C的余弦值．

解答：（1）证明：设BC的中点为M，连接OM，FM，设OM的中点为N，连接FN
∵EA=ED，O是AD的中点，∴EO⊥DA，
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD=AD，
∴EO⊥面ABCD
∵M是BC的中点，O是AD的中点，∴OM∥AB
∵EF∥AB，∴ON∥EF
∵ON=EF=1，∴四边形ONFE为平行四边形，∴FN∥EO
∴FN⊥面ABCD
∵三棱锥F-OBC的体积为

2

3

，
∴V_F-OBC=

1

3

S△OBC×FN=

2

3

∴FN=1
∵ON=OM=1，∴∠OFN=∠MFN=45°
∴∠MFO=90°，∴OF⊥FM
∵BC⊥OM，BC⊥FN，∴BC⊥面OFN
∴BC⊥OF
∵BC∩FM=M，∴OF⊥面FBC；
（2）解：∵OF⊥面FBC，∴OF⊥BF，OF⊥CF
∴∠BFC为二面角B-OF-C的平面角
∵BF=CF=

3

∴cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF×CF

=

1

3

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出面面角．