题目内容
（2011•洛阳二模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，AA1=AC=2，∠A1AC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC1，N为BC的中点，点P在棱A1C1上，
=λ
．
（1）当λ取什么值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大，并求此时θ的正弦值；
（2）求二面角C1-AN-C的余弦值．
| A1P |
| A1C1 |
（1）当λ取什么值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大，并求此时θ的正弦值；
（2）求二面角C1-AN-C的余弦值．
分析：（1）设O为AC的中点，连接A1O，A1C，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出直线PN的方向向量和平面ABC的一个法向量，求出θ的正弦值的表达式，结合二次函数的图象和性质可求出λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大；
（2）求出平面C1AN的一个法向量，结合（1）中平面ABC的法向量代入向量夹角公式，可得二面角C1-AN-C的余弦．
（2）求出平面C1AN的一个法向量，结合（1）中平面ABC的法向量代入向量夹角公式，可得二面角C1-AN-C的余弦．
解答：
解：（1）设O为AC的中点，连接A1O，A1C，
∵AA1=AC，∠A1AC=60°，
∴△A1AC为正三角形，
∴A1O⊥AC
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O?平面A1ACC1，
∴A1O⊥平面ABC，
∵△ABC为正三角形，
∴OB⊥AC
建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，
，0），C（-1，0，0），A1（0，0，
），C1（-2，0，
），N（-
，
，0）
∵
=λ
．
∴
=
+λ
=（-2λ，0，
），
∴P（-2λ，0，
），
∴
=（-2λ-
，
，-
），
显然平面ABC的一个法向量为
=（0，0，1）
∴sinθ=|cos＜
，
＞|=
∵θ∈[0，
]
∴当sinθ最大时，θ最大，
当λ=
时，sinθ取最大值
（2）由（1）得
=（3，0，-
），
=（
，
，-
），
设平面C1AN的一个法向量为
=（x，y，z），则
，即
，
令x=1，则
=（1，
，
）
∴cos＜
，
＞=
=
=
解：（1）设O为AC的中点，连接A1O，A1C，∵AA1=AC，∠A1AC=60°，
∴△A1AC为正三角形，
∴A1O⊥AC
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1O?平面A1ACC1，
∴A1O⊥平面ABC，
∵△ABC为正三角形，
∴OB⊥AC
建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| A1P |
| A1C1 |
∴
| OP |
| OA1 |
| A1C1 |
| 3 |
∴P（-2λ，0，
| 3 |
∴
| PN |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
显然平面ABC的一个法向量为
| n |
∴sinθ=|cos＜
| PN |
| n |
| ||||||
|
∵θ∈[0，
| π |
| 2 |
∴当sinθ最大时，θ最大，
当λ=
| 1 |
| 4 |
2
| ||
| 5 |
（2）由（1）得
| C1A |
| 3 |
| C1N |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
设平面C1AN的一个法向量为
| m |
|
|
令x=1，则
| m |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
| ||
|
| ||
| 7 |
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，建立空间坐标系，将线面夹角及二面角问题转化为向量夹角是解答本题的关键．
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