Question

16．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器．
（1）试把容器的容积V表示为x的函数．
（2）若x=6，
①求图2的主视图的面积；
②求异面直线EB与DC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结OE，取BC中点F，连结OF、EF，在等腰△EB中中，BC=x，高EF=5，由此求出四棱锥E-ABCD高EO和${S}_{正方形ABCD}={x}^{2}$，从而能把容器的容积V表示为x的函数．
（2）由x=6，得到OF=3，EO=4，由此能求出主视图的面积．
（3）由AB∥DC，得∠EBA是异面直线EB与DC所成角，再由∠EBF=∠EBA，能求出异面直线EB与DC所成角的正切值．

解答 解：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，取BC中点F，连结OF、EF，
在等腰△EB中，BC=x，高EF=5，
∴四棱锥E-ABCD高EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{25-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$，
${S}_{正方形ABCD}={x}^{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×EO$=$\frac{1}{3}{x}^{2}•\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{6}{x}^{2}\sqrt{100-{x}^{2}}$．
（2）∵x=6，∴OF=3，EO=$\frac{\sqrt{100-36}}{2}$=4，
∴主视图的面积S=2S_△EOF=2×$\frac{1}{2}$×EO×OF=4×3=12（cm²）．
（3）∵AB∥DC，∴∠EBA是异面直线EB与DC所成角，
∵∠EBF=∠EBA，EF⊥BF，EF=5，BF=3，
∴tan∠EBA=tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{5}{3}$，
∴异面直线EB与DC所成角的正切值为$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查函数式的求法，考查主视图的面积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．