Question

【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．

（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；

（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BB1⊥BC，从而BC⊥平面A1ABB1，由此能证明平面B1BCC1⊥平面A1ABB1．

（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形A1MQN是平行四边形，从而A1N∥MQ，由此能证明A1N∥平面BCM．

（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，三棱锥B﹣A1B1C1的体积，棱锥C1﹣BB1M的体积，由此能求出结果．

证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC平面BCM，∴AB⊥BC，

∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，

∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，

∵BC平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，

∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，

∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，

∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，

∵MQ平面BCM，A1N

∴A1N∥平面BCM．

（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，

得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，

∵M为A1B1的中点，

∴棱锥C1-BB1M的体积===．