题目内容
【题目】 设函数,其中
.
(Ⅰ)若,讨论
的单调性;
(Ⅱ)若,
(i)证明恰有两个零点
(ii)设为
的极值点,
为
的零点,且
,证明
.
【答案】(I)在
内单调递增.;
(II)(i)见解析;(ii)见解析.
【解析】
(I);首先写出函数的定义域,对函数求导,判断导数在对应区间上的符号,从而得到结果;
(II)(i)对函数求导,确定函数的单调性,求得极值的符号,从而确定出函数的零点个数,得到结果;
(ii)首先根据题意,列出方程组,借助于中介函数,证得结果.
(I)解:由已知,的定义域为
,
且,
因此当时,
,从而
,
所以在
内单调递增.
(II)证明:(i)由(I)知,,
令,由
,可知
在
内单调递减,
又,且
,
故在
内有唯一解,
从而在
内有唯一解,不妨设为
,
则,当
时,
,
所以在
内单调递增;
当时,
,
所以在
内单调递减,
因此是
的唯一极值点.
令,则当
时,
,故
在
内单调递减,
从而当时,
,所以
,
从而,
又因为,所以
在
内有唯一零点,
又在
内有唯一零点1,从而,
在
内恰有两个零点.
(ii)由题意,,即
,
从而,即
,
以内当时,
,又
,故
,
两边取对数,得,
于是,整理得
,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校计划面向高一年级名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了
名学生对社会科学类,自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有
人.在这
名学生中选择社会科学类的男生、女生均为
人.
(Ⅰ)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会科学类学生数;
(Ⅱ)根据抽取的名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为科类的选择与性别有关?
选择自然科学类 | 选择社会科学类 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附: ,其中
.
【题目】某高三理科班共有名同学参加某次考试,从中随机挑出
名同学,他们的数学成绩
与物理成绩
如下表:
数学成绩 | |||||
物理成绩 |
(1)数据表明与
之间有较强的线性关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)本次考试中,规定数学成绩达到分为优秀,物理成绩达到
分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为
和
,且除去抽走的
名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有
人,请写出
列联表,判断能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
参考数据:,
;
,
;