题目内容
(本小题满分16分)
在直角坐标系xOy中,直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A,B两点,△AOB的内切圆为圆M.
(1)如果圆M的半径为1,l与圆M切于点C (,1+),求直线l的方程;
(2)如果圆M的半径为1,证明:当△AOB的面积、周长最小时,此时△AOB为同一个三角形;
(3)如果l的方程为x+y-2-=0,P为圆M上任一点,求++的最值.
解析:(1)由题可得=,=.所以l:y=++1.
(2)设A(a,0),B(0,b) (a>2,b>2),则l:bx+ay-ab=0.由题可得M (1,1).
所以点M到直线l的距离d==1,整理得(a-2)(b-2)=2,即ab-2(a+b)+2=0.于是ab+2=2(a+b)≥,≥2+,ab≥6+.当且仅当a=b=2+时,ab=6+.
所以面积S=≥3+,此时△AOB为直角边长为2+的等腰直角三角形.
周长L=a+b+≥+=(2+)·≥=6+,此时△AOB为直角边长为2+的等腰直角三角形.
所以此时的△AOB为同一个三角形.
(3)l的方程为x+y-2-=0,得A(2+,0),B(0,2+),:+=1,设P(m,n)为圆上任一点,则+=1,+=2(m+n)-1,
+=1≥,2-≤m+n≤2+.
++=+-(4+)(m+n)+=(9+)-(-2)(m+n).
当m+n=2-时,=(9+)-(-2)( 2-)=17+.此时,m=n=1-.
当m+n=2+时,=(9+)-(-2)( 2+)=9+.此时,m=n=1+.
解析
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