Question

11．已知函数f（x）=xlnx-a，g（x）=（a+1）x，a∈R，e为自然对数的底数
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线g（x）垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）设G（x）=f（x）+g（x），若G（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得2（a+1）=-1，解方程可得a；
（Ⅱ）运用分离参数可得当x＞1时，a＞$\frac{xlnx+x}{1-x}$恒成立，令H（x）=$\frac{xlnx+x}{1-x}$，求出导数，求得单调区间，极值和最值，结合零点存在定理和不等式的性质，即可得到a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx-a的导数为f′（x）=lnx+1，
即有f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为k=lne+1=2，
由切线与直线g（x）垂直，则2（a+1）=-1，
解得a=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）设G（x）=f（x）+g（x）=xlnx+（a+1）x-a＞0，即为
xlnx+x+（x-1）a＞0，
当x＞1时，a＞$\frac{xlnx+x}{1-x}$恒成立，
H（x）=$\frac{xlnx+x}{1-x}$，H′（x）=$\frac{lnx-x+2}{（1-x）^{2}}$，
令μ（x）=lnx-x+2，x＞1时，μ′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，
μ（x）在（1，+∞）递减，μ（3）=ln3-1＞0，μ（4）=ln4-2＜0，
存在x₀∈（3，4），使得μ（x₀）=0，
当1＜x＜x₀时，μ（x）＞0，H′（x）＞0，H（x）递增；
当x＞x₀时，μ（x）＜0，H′（x）＜0，H（x）递减．
H（x）_max=H（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$，又μ（x₀）=0，即lnx₀=x₀-2，
即有H（x）_max=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{x}_{0}}{1-{x}_{0}}$=-x₀，
由x₀∈（3，4），即有-x₀∈（-4，-3），
由a＞-x₀，a∈Z，
则a的最小值为-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查两直线垂直的条件和零点存在定理和函数的单调性的运用，运用参数分离和构造函数是解题的关键．