Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.

（1）求p的值；

（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）p＝1（2）证明见解析

【解析】

（1）根据AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入计算得到答案.

（2）由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得到y1+y2，y1y2＝﹣4，根据直线方程得到P（1，），得到答案.

（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，

由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），

代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；

（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，

点A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，

由根与系数的关系得y1+y2，y1y2＝﹣4；

又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；

又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x﹣2）；

联立，解得，所以点P（1，），

所以点P在定直线x＝1上.