Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-\frac{5}{3}}$=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂与x₁x₂，根据∠AOB为锐角，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，即可确定出k的范围；
（3）由题意：确定出C₁的方程，设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为-1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．

解答 解：（1）由题意得：c=1，
∴a²=b²+1，
又因为点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得：a²=4，b²=3，
则椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消去y得：（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵△=12k²-3＞0，∴k²＞$\frac{1}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
∵∠AOB为锐角，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
整理得：（1+k²）•$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$+2k•$\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$+4＞0，即$\frac{-12{k}^{2}+16}{4{k}^{2}+3}$＞0，
整理得：k²＜$\frac{4}{3}$，即$\frac{1}{4}$＜k²＜$\frac{4}{3}$，
解得：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）由题意：C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
∵M，N不在坐标轴上，∴k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴直线PM的方程为y-y₂=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$（x-x₂），
化简得：x₂x+y₂y=$\frac{4}{3}$④，
同理可得直线PN的方程为x₃x+y₃y=$\frac{4}{3}$⑤，
把P点的坐标代入④、⑤得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}{x_1}+{y_2}{y_1}=\frac{4}{3}\\{x_3}{x_1}+{y_3}{y_1}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴直线MN的方程为x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0，得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，
又点P在椭圆C₁上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，
则$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$为定值．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．