题目内容

【题目】已知函数

(1)当时,判断的单调性,并用定义证明

(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;

(3)讨论的零点个数

【答案】(1)减函数,证明见解析;(2)(3)时,个零点,当时,个零点,当时,个零点.

【解析】

试题分析:(1)设,利用单调性的定义,即可证得函数的单调性;(2)由,变形为,即即可根据函数的性质,求得实数的取值范围;(3)由可得变为,令的图及直线

根据图象即可判断函数的零点个数

试题解析:证明:设,则

=

,所以

所以

所以,即

故当时,上单调递减的》

(2)由

变形为,即

所以

(3)由可得),变为

的图像及直线,由图像可得:

时,有1个零点

时,有2个零点;

时,有3个零点

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