Question

（文）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求实数m的取值范围．

（理） 已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交线段B₁C于点F．以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值的大小．

Answer 1

（文）解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b（2分）
由题意得：即（4分）
解得：a=b=-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴，即，（10分）
令（x＞0）∴，（12分）
当且仅当时取等号，即x=1时，g（x）_min=1，（14分）
∴m≤1（15分）

（理）解：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）（2分）
设E（0，2，t），则．
∵BE⊥B₁C，
∴．
∴t=1．
∴E（0，2，1），．（4分）
∵，
∴且，（6分）
∴且，
∴平面BDE．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，（9分）
∵，
∴，（14分）
∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为．（16分）
分析：（文）（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1），列出方程组即可求出a、b的值．
（2）先分离出参数m：，即令（x＞0）只须求得g（x）的最小值即可即可得到m的取值范围．
（理）（Ⅰ）给出各点的坐标，求出两个向量 利用数量积公式即可证得垂直关系，从而即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量．，再代入A₁B与平面BDE所成角的余弦公式即可求值．
点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、向量语言表述线面的垂直、平行关系、用空间向量求直线与平面的夹角等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．