Question

10．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2x-y-4=0的距离为n，则m+n的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 求得双曲线的一个焦点，可得p=2，求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义，结合三点共线，由点到直线的距离公式，计算即可得到最小值．

解答 解：由双曲线x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一个焦点为（0，1），
则抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为（0，1），即有p=2，
则抛物线的方程为x²=4y，准线为x=-1，
由抛物线的定义，可得m=|PF|-1，
设|PH|=n，（H为P到直线l所作垂线的垂足），
因此m+n=|PF|-1+|PH|．
易知当F，P，H三点共线时，m+n最小，
因此其最小值为|FH|-1=$\frac{|-1-4|}{\sqrt{5}}$-1=$\sqrt{5}$-1．
故选：B．

点评 本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小的运用，属于中档题．