Question

20．设实数a₁，a₂，b₁，b₂均不为0，则“$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$成立”是“关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同”的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 非充分非必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．

解答 解：若$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$=m，（m≠0），
则a₁=ma₂，b₁=mb₂，
∴不等式a₁x+b₁＞0等价为m（a₂x+b₂）＞0，
若m＞0，则m（a₂x+b₂）＞0，等价为a₂x+b₂＞0，此时两个不等式的解集相同，
若m＜0，m（a₂x+b₂）＞0，等价为a₂x+b₂＜0，此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．
若关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同，
即a₁a₂＞0，
∵a₁，a₂，b₁，b₂均不为0，
∴若a₁，a₂＞0，
则不等式的解为x＞$-\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$．x＞$-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$，
则$-\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=$-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$，即$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$成立，
若a₁，a₂＜0，
则不等式的解为x＜$-\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$．x＜$-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$，
则$-\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=$-\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$，即$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$成立，
即必要性成立，
故“$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$成立”是“关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同”的必要不充分条件，
故选：B

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．