题目内容
【题目】设为数列
的前
项和,对任意的
,都有
(
为正常数).
(1)求证:数列是等比数列;
(2)数列满足
,
,求数列
的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前
项和
.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)利用与
之间的关系
,对
分两种情况讨论,
时,求
的值,
时,利用
得出
与
之间的关系,进而利用定义证明数列
为等比数列;
(2)在(1)的条件下求出的值,然后根据数列
的递推公式的结构利用倒数法得到数列
为等差数列,通过求处等差数列
的通项公式求出数列
的通项公式;(3)利用(2)中数列
的通项公式,并根据数列
的通项公式的结构选择错位相减法求数列
的前
项和
.
试题解析:(1)证明:当时,
,解得
. 1分
当时,
.即
. 2分
又为常数,且
,∴
. 3分
∴数列是首项为1,公比为
的等比数列. 4分
(2) 5分 ∵
,∴
,即
. 7分
∴是首项为
,公差为1的等差数列. 8分
∴,即
. 9分
(3)由(2)知,则
.
所以, 10分
即, ① 11分
则, ② 12分
②-①得, 13分
故. 14分
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