Question

已知函数,
(1) 设（其中是的导函数）,求的最大值；
(2) 证明: 当时，求证：  ；
(3) 设,当时,不等式恒成立,求的最大值

Answer 1

(1),
所以 ．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；
（2）当时，．
由（1）知：当时，，即．
因此，有．
（3）不等式化为
所以对任意恒成立．
令，则，
令，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．

略