[题目]已知函数的最小值为m．(1)求m的值,(2)若a.b.c是正实数.且a+b+c=m.求证:2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．

【答案】
（1）解：根据题意，函数 = ，

分析可得f（x）min=f（）=1，

即m=1；

（2）解：证明：由（1）可得a+b+c=1，

由于（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a2﹣b2）（a﹣b）=（a﹣b）2（a+b），

又由a，b，c是正实数，

则有（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）≥0，

即a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①

同理可得：b3+c3≥bc﹣abc，②

a3+c3≥ac﹣abc，③

①+②+③可得：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc

【解析】（1）根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式可得f（x）= ，结合函数的单调性分析可得f（x）min=f（）=1，即可得m的值；（2）先用作差法证明a3+b3≥a2b+ab2 ，再结合基本不等式分析可得a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①；同理可以证明b3+c3≥bc﹣abc，②和a3+c3≥ac﹣abc，②；将三个式子相加即可得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．

练习册系列答案

【题目】已知数列{an}满足，且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则5﹣6a10= ．

【题目】下列命题正确的是（）
A.?x0∈R，sinx0+cosx0=
B.?x≥0且x∈R，2x＞x2
C.已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件
D.已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1

【题目】某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．

付款方式	分3期	分6期	分9期	分12期
频数	20	20	a	b

（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．

【题目】定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N* ， n≥2），都有f（x）= f（ ﹣1）．若g（x）=f（x）﹣logax有且只有三个零点，则a的取值范围是（）
A.[2，10]
B.[ ， ]
C.（2，10）
D.[2，10）

【题目】在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．
（1）化曲线C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．

【题目】某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．

【题目】直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）
A.
B.
C.
D.2

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