Question

（本小题满分14分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点. 证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.

        

Answer 1

（本小题满分14分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点. 证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.

解：（Ⅰ）由题意可知，，       

而，                                           

且.                                             

解得，                                                  

所以，椭圆的方程为.                                

（Ⅱ）.设，，                   

直线的方程为，令，则，

即；                                  

直线的方程为，令，则，

即；                                   

    

而，即，代入上式，

∴，   所以为定值.