题目内容

6.设{$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{k}$}是单位正交基底,已知向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$}下的坐标为(8,6,4),其中$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$,$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$则向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{k}$}下的坐标是(  )
A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)

分析 由题意可得$\overrightarrow{p}$=8$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$=8($\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$)+6($\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$)+4($\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$)=12$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$+10$\overrightarrow{k}$=(12,14,10).

解答 解:∵向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$}下的坐标为(8,6,4),
∴$\overrightarrow{p}$=8$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$,
又∵$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$,$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$,$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$,
∴$\overrightarrow{p}$=8($\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$)+6($\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$)+4($\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$)
=12$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$+10$\overrightarrow{k}$=(12,14,10),
故选:A.

点评 本题考查了空间向量的坐标表示的应用,属于基础题.

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