Question

【题目】设数列的前项和为，且满足， 为常数．

（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．

（2）当时，求证： ．

（3）当时，求证：当时， ．

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析

【解析】试题分析：

（1），得到，检验可知不存在满足要求的数列；（2）利用，得到，化简可得结论；（3）利用放缩法及函数的应用，证明不等式。

试题解析：

（1）若，则，即，即，

则，所以不存在数列使得．

（2）由得，

当时， ，两式相减得，

即， ， ， ，

当时， ，即，综上， ．

（3）证1：由得，

当时， ，两式相减得，

解得，所以当时， ，

因为，

又由可见，所以；

另一方面， ，故．

证2：由得， ，

所以当时， ，下同证1.