题目内容
【题目】某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长；
(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在
上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．
试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.
在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.
又cos∠ABC＝－cos∠ADC，
∴cos∠ABC＝
，AC2＝28，即AC＝2
万米，
又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝
.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin
＝8
(平方万米)．
(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，
且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．
设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝
xy.
在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，
又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.
∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，
故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为
的中点．
