题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是梯形,
,
,
是正三角形,
为
的中点,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)在棱上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见证明(2)见解析
【解析】
(1)先证,由平面
平面
,可得
平面
;(2)以点
为原点,分别以射线
为
轴,
轴,
轴正半轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,设
,用含
的式子求出平面
和平面
的法向量,由二面角
的余弦值为
列方程解出
,从而得出
的值.
(1)证明:因为,且
,
所以四边形是平行四边形,
从而,且
,
又在正三角形中,
,
从而在中,满足
,
所以,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
.
所以平面
,
(2)由(1)知,且
,
,
平面
,
从而平面
,
又平面
,
平面
,所以
,
以点为原点,分别以射线
为
轴,
轴,
轴正半轴,建立空间直角坐标系,
,
假设在棱上存在点
满足题意,
设,则
,
,
设平面的法向量
,则
,
取得,得
,
有平面的一个法向量
,所以
,
从而,
,
,
因为,所以
,
所以在棱上存在点
使得二面角
的余弦值为
,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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